In diesem Abschnitt wollen wir ein paar grundlegende Begriffe aus der Analytischen Geometrie behandeln. Im Vordergrund stehen verschiedene Darstellungen von Geraden und Ebenen.
Jede Gerade in der x1,x2-Ebene lässt sich durch eine Koordinatengleichung
der Form ax1+bx2+c=0 beschreiben.
Liegt der Punkt A=(0,3) auf der Geraden g mit g:x1+2x2=6
(0,3) in Gleichung einsetzen
Man erhält: 0+2⋅3=6
Damit liegt der Punkt A=(0,3) auf der Geraden.
Die zwei Punkte P1=(0,1) und P2=(2,0) legen eine Gerade in der Ebene R2 fest.
Setzt man die beiden Punkte in die Parametergleichung der Geraden ein, erhält man das folgende Gleichungssystem
a·0+b·1+c=0a·2+b·0+c=0
Wählt man c=−2 erhält man a=1 und b=2
Jede Gerade in der Ebene oder im Raum lässt sich durch eine Gleichung der Form
→x=→p+t⋅→u mit t∈R beschreiben.
Geben Sie zwei Parametergleichungen für die Gerade an, die durch die Punkte A = (1,−2,5) und B = (4,6,−2) geht.
Prüfen Sie, ob der Punkt A=(−7,−5,8) auf der Geraden liegt, die durch die Gleichung →x=(3−12)+t(52−3) beschrieben ist.
(−7−58)=(3−12)+t(52−3)
Für t=−2 ist jede Zeile des Gleichungssystems erfüllt, damit liegt A auf der Gerade
-
Bestimmen Sie die Koordinatenform von der Geraden g
→x=(40)+t⋅(−21)
x1=4+t⋅(−2)x2=t
x1=4+x2⋅(−2)
x1+2x2−4=0
Jede Ebene lässt sich durch eine Gleichung der Form
→x=→p+s⋅→u+t⋅→v mit s,t∈R
beschreiben. Hierbei ist →p der Stützvektor und die nicht parallelen Vektoren →u und →v sind zwei Spannvektoren.
Die drei Punkte A=(1,−1,1),B=(1.5,1,0) und C=(0,1,1) legen eine Ebene fest. Geben Sie eine Parameterdarstellung dieser Ebene an.
Wählt man als Stützvektor den Ortsvektor von A und als Spannvektoren →AB und →AC, so erhält man
→x=(1−11)+s(0.52−1)+t(−120)
→x=(111)+s(210)+t(300.5)
x1=1+2s+3tx2=1+s+0tx3=1+0s+0.5t
x1=1+2s+3ts=x2−1t=2x3−2
x1=1+2(x2−1)+3(2x3−2)x1=1+2x2−2+6x3−6x1−2x2−6x3+7=0
Bestimmen Sie eine Parametergleichung von der Ebene, die durch die Gleichung
3x1−x2+7x3−12=0 gegeben ist.
x2=3x1+7x3−12
x1=1x1+0x3+0x2=3x1+7x3−12x3=0x1+1x3+0
→x=s⋅(130)+t⋅(071)+(0−120)
Die drei Punkte A = (1,1,0), B = (1,0,1) und C = (0,1,1) legen eine Ebene fest. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung dieser Ebene.
Ansatz: ax1+bx2+cx3+d=0
(1,1,0): a⋅1+b⋅1+c⋅0+d=0(1,0,1): a⋅1+b⋅0+c⋅1+d=0(0,1,1): a⋅0+b⋅1+c⋅1+d=0
Dieses lin Gleichungssystem hat drei Gleicungen und 4 Variablen
(1,1,0): a+b+d=0(1,0,1): −c−d=a(0,1,1): −c−d=b
−c−d−c−d+d=0
c=−12d
(1,0,1): −c−d=a−12d−d=aa=−12d
(0,1,1): −c−d=b−12d−d=bb=−12d
Setzt man d=−2 erhält man a=1,b=1,c=1
x1+x2+x3−2=0
Eine Ebene kann durch einen Stützvektor und einen Normalvektor der Ebene beschrieben werden.
Ein Punkt X liegt genau dann auf der Ebene, wenn der Vektor→x−→p orthogonal zu →n ist. Daher ist (→x−→p)⋅→n=0 eine Gleichung der Ebene.
Koordinatengleichung → Normalform einer Ebene
ax1+bx2+cx3+d=0
(abc)⋅(x1x2x3)+d=0
Eine Ebene durch P=(4,1,3) hat den Normalenvektor →n=(2,−1,5)
(→x−(413))⋅(2−15)=0
→x⋅(2−15)−(413)⋅(2−15)=0
→x⋅(2−15)−(413)⋅(2−15)=0
2x1−x2+5x3−22=0
Bestimmen Sie für die Ebene mit der Koordinatengleichung 2x1+5x2+3x3−12=0 eine Ebenengleichung in Normalenform.
Zur Bestimmung des Stützvektors →p ist es geschickt, zwei Koordinaten als Null zu wählen
2x1+5x2+3x3−12=0
x2=0,x3=0 dann ist 2x1=12
und
→p=(600)
(→x−(600))⋅(253)=0
Ist ax1+bx2+cx3+d=0 eine Koordinatengleichung einer Ebene, so ist der Vektor mit den Koordinaten a,b,c ein Normalenvektor der Ebene.
Bestimmen Sie für die Ebene in Parameterform
→x=(523)+s⋅(102)+t⋅(0−58)
Mit p=(5,2,3) haben wir bereits einen geeigneten Stützvektor.
Der gesuchte Normalvektor muss normal zu beiden Spannvektoren sein.
(n1n2n3)⋅(102)=0
und
(n1n2n3)⋅(0−58)=0
n1+2n3=0−5n2+8n3=0
n1=−2n3n2=85n3
Wählt man zum Beispiel n3=5
so erhält man
→n=(−1085)
(→x−(523))⋅(−1085)=0